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怎么证明曲面相互正交 曲面与曲面正交

最后更新 ：2022.11.19 21:11

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大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下怎么证明曲面相互正交的问题，以及和如何证明曲面与平面相切的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

曲面正交问题

设(x,y,z)是球面与锥面交线上任一点。球面在该点法向量为n1，锥面是n2，之后若n1·n2=0，则两面正交

证明曲面xy=z2与x2+y2+z2=9正交

只需证明这两个曲面在任意点的法向量正交即可，令F(x,y,z)=xy-z^2，G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9，则F'x=y,F'y=x,F'z=-2z，G'x=2x.G'y=2y,G'z=2z，所以法向量分别为n1=(y,x,-2z)，n2=(2x,2y,2z)，n1*n2=2xy+2xy-4z^2=0，故n1垂直于n2，所以两曲面正交。

如何证明曲面xy=z^2和x^2+y^2+z^2=9正交

设F(x,y,z)=xy-z^2

G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9.

则球面S1的方程可表为:F(x,y,z)=0.

球面S2的方程可表为G(x,y,z)=0.

按定理知,在任意点(x,y,z)

S1的法向量为:

n1 = {F对x 的偏导数,F对y 的偏导数,F对z 的偏导数}= (y,x,-2z);

S2的法向量为:

n2 = {G对x 的偏导数,G对y 的偏导数,G对z 的偏导数}= (2x,2y,2z);

而n1与n2的数量积为:(n1).(n2)=2xy+2xy-4z²=4(xy-z²)=4F(x,y,z)=0.

即知,在它们的任意公共点(x,y,z),n1,n2垂直,即知两球面正交.

关于怎么证明曲面相互正交和如何证明曲面与平面相切的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。

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